Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
На стороне AC треугольника ABC взята точка A1, а на продолжении стороны BC за точку C взята точка C1, длина отрезка A1C равна 85% длины стороны AC, а длина отрезка BC1 равна 120% длины стороны BC. Сколько процентов площади треугольника ABC составляет площадь треугольника A1BC1?
Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.
Найти натуральное наименьшее целое число n такое, что n делится на 19, а n+2 делится на 82.
Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).
В треугольнике ABC угол C – прямой. Из центра C
радиусом AC описана дуга, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет CB – в точке E.
Найдите угловые величины дуг AD и DE, если ∠B = 40°.
В футбольном чемпионате участвовали 16 команд. Каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, за победу давалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0. Назовём команду успешной, если она набрала хотя бы половину от наибольшего возможного количества очков. Какое наибольшее количество успешных команд могло быть в турнире?
У квадратного уравнения x² + px + q = 0 коэффициенты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили четыре раза. Приведите пример такого исходного уравнения, что у каждого из пяти полученных уравнений корни были бы целыми числами.
Дано трёхзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые.
Доказать, что число делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7 сумма второй и третьей цифр.
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника.
Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся два, разность которых делится на десять.
|
|
 |
Условие
Докажите, что среди любых 11 чисел найдутся два, разность которых делится на десять.
Решение
Числа при делении на 10 могут давать десять остатков от 0 до 9. Так как дано 11 чисел, то обязательно существует, по крайней мере, два числа (можно использовать признак Дирихле), имеющие равные остатки — эти числа имеют вид a = 10k + r и b = 10n + r, тогда a − b = 10 (k − n).
