Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника
продолжены до пересечения с продолжениями сторон.
Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Чичиков играет с Ноздрёвым. Сначала Ноздрёв раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрёв должен переложить, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявить Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрёв. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрёв.
Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников.
Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.
Внутри угла расположены две окружности с центрами A и B. Они касаются друг друга и двух сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.
В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.
В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что ∠AC'B' = ∠B'A'C, ∠CB'A' = ∠A'C'B, ∠BA'C' = ∠C'B'A. Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.
В некоторых клетках квадрата 11×11 стоят плюсы, причём всего плюсов чётное количество. В каждом квадратике 2×2 тоже чётное число плюсов.
Докажите, что чётно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали квадрата.
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
Решение
а) f(x) = f(g(g(x))) > g(x). Но точно так же доказывается, что g(x) > f(x). Противоречие.
б) Достаточно задать значения функций только в целых числах: для остальных значений их можно определить произвольно.
Первый способ. Назовём чётные числа "своими", а нечётные – "чужими" для функции f, а для g – всё наоборот. Пусть эти функции каждое своё число x переводят в – |x| – 2, а чужое – в |x| + 1. Заметим, что каждая функция каждое число переводит в своё. Проверим два неравенства, где внутренняя функция – f. Ясно, что |f(x)| > |x|. Поэтому f(f(x)) = – |f(x)| – 2 < – |x| – 2 < x, а g(f(x)) = |f(x)| + 1 > |x| + 1 > x. Оставшиеся два неравенства проверяются аналогично.
Второй способ. Занумеруем все целые числа натуральными (например, так: x1 = 0, x2 = 1, x3 = –1, x4 = 2, x5 = –2 и т.д.). Будем строить значения f(xn), g(xn) по индукции; причём все они будут различны. Обозначим Xn = {x1, ..., xn}, Vn = {f(x1), ..., f(xn), g(x1), ..., g(xn)}.
База. f(x1) и g(x1) – произвольные различные целые числа, отличные от x1.
Шаг индукции. Пусть все элементы Vn уже построены. Если xn+1 ∉ Vn, то в качестве f(xn+1) и g(xn+1) возьмём произвольные различные целые числа, не входящие ни в Xn+1, ни в Vn.
Если же xn+1 ∈ Vn, то xn+1 = f(xi) или xn+1 = g(xi), где i ≤ n. В первом случае в качестве f(xn+1) возьмём целое число, меньшее xi и не входящее в
Xn ∪ Vn, а в качестве g(xn+1) – целое число, большее xi и не входящее в Xn ∪ Vn. Тогда f(f(xi)) < xi, g(f(xi)) > xi. Во втором случае поступим наоборот, обеспечив неравенства g(g(xi)) < xi, f(g(xi)) > xi.
В результате все значения функций будут построены и все неравенства будут выполнены.
Ответ
а) Не существуют; б) существуют.
Замечания
Баллы: 3 + 5
