В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 7,2-1,92t+0,128t² , где t  — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

   Решение

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

   Решение

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

   Решение

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 1280 К, a = 26 К/мин, b = -0,2 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

   Решение

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

   Решение

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Проективные преобразования прямой ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Решение 1

  На произвольной прямой, проходящей через K и пересекающей стороны угла в точках A и B, возьмём такую точку K', что  AK' : BK' = AK : BK.  Все такие точки K' лежат на прямой l, проходящей через вершину угла (это следует из того, что центральная проекция сохраняет двойное отношение). Поэтому все окружности с диаметром KK' проходят через проекцию M точки K на l. Каждая такая окружность является окружностью Аполлония для точек A и B и отношения  AK : BK,  поэтому выполнено равенство  AM : BM = AK : BK,  то есть точка M – искомая (рис. слева).

             

Решение 2

  Пусть O – вершина угла. Построим параллелограмм KXOY, две стороны которого лежат на сторонах угла. Пусть M – точка, симметричная K относительно XY. Докажем, что точка M – искомая.
  Пусть прямая, проходящая через K, пересекает прямые OX и OY в точках A и B. Заметим, что  MX = KX,  MY = KY,  треугольники MXY, KXY и OYX равны, поэтому MOYX – равнобокая трапеция и  ∠MXO = ∠MYO.  Значит,  ∠MXA = 180° – ∠MXO = 180° – ∠ MYO = ∠BYM.  Треугольники AXK и KYB подобны, так как их стороны соответственно параллельны, поэтому  KX : XA = BY : YK.  Отсюда получаем  MX : XA = KX : XA = BY : YK = BY : YM.
  Отсюда и из равенства углов MXA и BYM получаем, что треугольники MXA и BYM подобны (рис. справа).
  Пользуясь двумя доказанными подобиями, получаем  MA : BM = MX : BY = KX : BY = AK : KB,  что и означает, что MK – биссектриса треугольника AMB.

Источники и прецеденты использования