Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
В равенстве (ayb)c = – 64y6 замените a, b и c целыми числами, отличными от 1, так, чтобы получилось тождество.
У Пети в бутылке было "Фанты" на 10% больше, чем у Васи. Петя отпил из своей бутылки 11% её содержимого, а Вася из своей – 2% содержимого. У кого после этого осталось больше "Фанты"?
Имеется таблица n×n, в n – 1 клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?
Решите неравенство:
У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?
На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки
M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.
Треугольник ABC с острым углом ∠A = α вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.
Условие
Треугольник ABC с острым углом ∠A = α вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.
Решение
Пусть H – основание высоты треугольника ABC, проведённой из вершины B, M – середина AC. Рассмотрим случай, когда указанный в условии диаметр пересекает сторону AB (в точке O). Пусть O – точка пересечения этого диаметра со стороной AB. Если точка O совпадает с B, то совпадают точки H и M. Тогда треугольник ABC – равнобедренный, значит, ∠B = 180° – 2∠BAC = 180° – 2α.
Если точки O и B различны, то поскольку
SAMB = ½ SABC = SAHO, отрезки OH и BM пересекаются в некоторой точке K. Тогда
SBOK = SMKH ⇒ SBOH = SBMH. Поскольку BH – общее основание равновеликих треугольников BOH и BMH, то их высоты, опущенные из вершин O и M на это основание, равны.
Следовательно, MO || BH. Поэтому прямая OM – серединный перпендикуляр к хорде AC. Значит, на этой прямой лежит центр окружности. Таким образом, точка O принадлежит двум различным диаметрам окружности, поэтому является её центром. Тогда ∠B = 90° – ∠A = 90° – α.
Если указанный в условии диаметр пересекает сторону BC, то ∠A = 90° > α, что невозможно.
Ответ
180° – 2α или 90° – α.
