Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.
|
|
 |
Условие
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.
Решение
Пусть прямые KE и KD пересекают прямую AC в точках M и N соответственно. Поскольку CE – биссектриса, то при симметрии относительно прямой CE прямая AC переходит в прямую BC. По условию при этой симметрии прямая KM переходит в прямую AB, значит, точка пересечения M прямых AC и KM переходит при этой симметрии в точку пересечения прямых BC и AB, то есть в точку B. Поэтому треугольник CME переходит в треугольник CBE. Следовательно, ∠KMN = ∠EMC = ∠EBC = ∠ABC.
Аналогично ∠KNM = ∠ABC. Значит, треугольник KMN – равнобедренный, KM = MN.
Кроме того, прямая CE – серединный перпендикуляр к отрезку BM, а прямая AD – серединный перпендикуляр к отрезку BN, значит, точка O их пересечения – центр описанной окружности треугольника MBN. Поэтому точка O, как и точка K лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку MN.
