Версия для печати
Убрать все задачи

---

У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?

   Решение

---

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции

y= sin x, x(0;α).
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π) ; б) α(0;) ?

   Решение

---

Несколько спортсменов стартовали одновременно с одного и того же конца прямой беговой дорожки. Их скорости различны, но постоянны. Добежав до конца дорожки, спортсмен мгновенно разворачивается и бежит обратно, затем разворачивается на другом конце, и т.д. В какой-то момент все спортсмены снова оказались в одной точке. Докажите, что такие встречи всех будут продолжаться и впредь.

   Решение

---

На параболе  y = x²  выбраны четыре точки A, B, C, D так, что прямые AB и CD пересекаются на оси ординат.
Найдите абсциссу точки D, если абсциссы точек A, B и C равны a, b и c соответственно.

   Решение

---

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить всё жалованье между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдаёт Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:
  а) жалованье между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;
  б) жалованье между отрядами Черномор распределяет поровну?

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбрана точка D. Медиана AM пересекает высоту CH и отрезок BD в точках N и K соответственно.
Докажите, что если  AK = BK,  то  AN = 2KM.

   Решение

---

В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.

   Решение

---

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вневписанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Решение

  Из решения задачи 55404 следует, что середина D отрезка A₁A₂ является также серединой стороны BC.

  Биссектриса угла C треугольника ABC является биссектрисой внешнего угла равнобедренного треугольника A₂CB₂ и, значит, параллельна основанию A₂B₂, то есть прямой PA₂. В то же время эта биссектриса перпендикулярна прямой A₁B₁. Поэтому  ∠A₁PA₂ = 90°,  то есть PD – медиана прямоугольного треугольника A₁PA₂, проведённая к гипотенузе. Следовательно,  ∠DA₂P = ∠DPA₂,  ∠A₁DP = 2∠DA₂P = ∠ACB.  Значит,  DP || AC,  а так как D – середина стороны BC, то прямая DP содержит среднюю линию треугольника ABC, а значит, проходит через середину E стороны AB. Отсюда
EP = PD – ED = DA₂ – ED = ½ (b + c) – ^b/₂ = ^c/₂ = AE,  то есть треугольник PEA – равнобедренный, а так как  EP || CB₁,  то
∠EAB₁ = 180° – ∠AEP = 180° – (180° – 2∠EAP) = 2∠EAP.  Следовательно, AP – биссектриса угла BAB₁.
  Аналогично луч AQ – биссектриса угла CAC₂. Поскольку биссектрисы вертикальных углов являются дополнительными лучами, точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования