Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

   Решение

---

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.

   Решение

---

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

   Решение

---

Доказать, что число  n⁵ – 5n³ + 4n  делится на 120 при любом натуральном n.

   Решение

---

На складе лежало несколько целых головок сыра. Ночью пришли крысы и съели 10 головок, причём все ели поровну. У нескольких крыс от обжорства заболели животы. Остальные семь крыс следующей ночью доели оставшийся сыр, но каждая крыса смогла съесть вдвое меньше сыра, чем накануне. Сколько сыра было на складе первоначально?

   Решение

---

Рассмотрим 5 точек A, B, C, D, E так что ABCD - параллелограмм, BCED лежат на одной окружности. A ∈ l, прямая lпересекает внутренность [DC] в F и прямую BC в G. Пусть EF = EG = EC. Доказать, что l - биссектриса угла DAB.

   Решение

---

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4K,  где K – любое натуральное число, делится на 400.

   Решение

---

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

   Решение

---

У Кая имеется кусок шахматной доски 7×7 клеток из драгоценного хрусталя и алмазный нож. Кай хочет, не теряя материала и проводя разрезы только по краям клеток, распилить доску на 6 частей так, чтобы из них сделать три новых квадрата, все разных размеров. Как это сделать?

   Решение

---

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна меньшему основанию BC, а диагональ AC равна основанию AD. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямую DC в точке M. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

   Решение

---

Снежная Королева предпочитает идеальные фигуры, поэтому она так любит квадраты. Она дала Каю крест (см. рисунок справа), чтобы тот разделил его на равные части и собрал из них квадрат. Как это можно сделать?

   Решение

---

На параболе  y = x²  выбраны четыре точки A, B, C, D так, что прямые AB и CD пересекаются на оси ординат.
Найдите абсциссу точки D, если абсциссы точек A, B и C равны a, b и c соответственно.

   Решение

---

Доказать, что существует линия длины +1 , которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади S .

   Решение

Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что существует линия длины +1 , которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади S .

Решение

Докажем, что такой линией является полуокружность. Выпуклая фигура, покрывающая полуокружность, должна содержать в себе полукруг, ограниченный данной полуокружностью, иначе фигура не будет выпуклой. Если возьмем полуокружность длиной , то площадь соответствующего полукруга будет S . Действительно, площадь полукруга равна π r²/2 , длина полуокружности =π r . Найдя из последнего равенства радиус данной полуокружности и подставив значение r²=2S/π в формулу для площади полукруга, получим наше утверждение. Таким образом, чтобы покрыть полуокружность большей длины, чем +1 , требуется фигура, имеющая площадь большую, чем S .

Источники и прецеденты использования