Версия для печати
Убрать все задачи

---

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;2) параллельно прямой 2x - 3y + 4 = 0.

   Решение

---

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

   Решение

---

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .

   Решение

---

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 1160 К, a = 34 К/мин, b = -0,2 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

   Решение

---

Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?

   Решение

---

В пространстве заданы три луча: DA , DB и DC , имеющие общее начало D , причём ADB = ADC = BDC = 90^o . Сфера пересекает луч DA в точках A1 и A2 , луч DB – в точках B1 и B2 , луч DC – в точках C1 и C2 . Найдите площадь треугольника A2B2C2 , если площади треугольников DA1B1 , DA1C1 , DB1C1 и DA2B2 равны соответственно , 10, 6 и 40.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольный тетраэдр ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В пространстве заданы три луча: DA , DB и DC , имеющие общее начало D , причём ADB = ADC = BDC = 90^o . Сфера пересекает луч DA в точках A1 и A2 , луч DB – в точках B1 и B2 , луч DC – в точках C1 и C2 . Найдите площадь треугольника A2B2C2 , если площади треугольников DA1B1 , DA1C1 , DB1C1 и DA2B2 равны соответственно , 10, 6 и 40.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, то квадрат площади основания равен сумме квадратов площадей боковых граней. Действительно, пусть OX , OY и OZ – попарно перпендикулярные боковые рёбра треугольной пирамиды OXYZ с вершиной O (рис.1), причём S_{Δ XOY} = S , S_{Δ XOZ} = P , S_{Δ YOZ} = Q . Обозначим OX=a , OY=b , OZ=c . Тогда

перемножив почленно два первых уравнения системы и разделив результат на третье, получим, что a= . Пусть S_{Δ XYZ} = T . Докажем, что T2=S2+P2+Q2 . Для этого опустим перпендикуляр OF из вершины O на ребро YZ . Ребро OX перпендикулярно плоскости грани OYZ , так как OX OY и OX OZ по условию задачи. Тогда прямая YZ перпендикулярна плоскости OXF , значит XF YZ , т.е. XF – высота треугольника XYZ . Из прямоугольных треугольников YOZ и XOF находим, что
OF = = = ,

XF = = = .
Значит,
T = S_{Δ XYZ} = YZ· XF = · =

= = = .
Следовательно, T2=S2+P2+Q2 . Что и требовалось доказать. Перейдём к нашей задаче (рис.2). Проведём сечение сферы плоскостью DA1B1 . Получим окружность и две секущие DA1A2 и DB1B2 , проведённые к ней из точки D , лежащей вне окружности. Тогда DA1· DA2 = DB1· DB2 . Аналогично докажем, что DA1· DA2 = DC1· DC2 . Кроме того,
= = ,

= = ,
значит,
= ,
откуда
S_{Δ DB}2C2 = S_{Δ DA}2B2· = 40· = 50.
Аналогично,
S_{Δ DA}2C2 = S_{Δ DA}2B2· = 40· = 30.
Следовательно,
S_{Δ A}2B2C2 = = =

=10 = 10 = 50.

Ответ

50 .

Источники и прецеденты использования