На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).

  а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
  б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
  в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.

   Решение

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f₁(x),  f₂(x), ...,  f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P₁(x) =  f₂(f₁(f₂(x))))?

   Решение

Даны две пересекающиеся окружности с центрами O₁, O₂. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O₁O₂ на наибольшее расстояние.

   Решение

Разделим каждое четырёхзначное число на сумму его цифр. Какой самый большой результат может получиться?

   Решение

В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK – биссектрису KL. Прямые AC и KL пересекаются в точке M. Известно, что
∠A > ∠C.  Докажите, что  AK + KC > AM.

   Решение

Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.

   Решение

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4*4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.

   Решение

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь многоугольника ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4*4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.

Решение

Можно попытаться найти решение, просто пробуя различные пары вершин внутри квадрата 4*4 и стараясь сделать получаемый шестиугольник поуже. При этом удобнее считать не площадь шестиугольника, а площадь оставшейся части квадрата - она должна быть равна 10 клеткам. Для подсчёта площади можно разбить оставшуюся часть на прямоугольные треугольники и вспомнить, что площадь прямоугольного треугольника, катеты которого идут по линиям сетки, равна половине площади прямоугольника со сторонами a и b (см. рис. слева) и равна ab/2 (эта формула верна и для произвольного прямоугольного треугольника). Те из вас, кто знает более общую формулу: площадь треугольника со стороной a и опущенной на неё высотой h равна ah/2 (см. рис. справа), могут сразу найти площадь произвольного треугольника, не разбивая его на прямоугольные.

Ответ

Источники и прецеденты использования