За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?

   Решение

Даны различные натуральные числа  a₁, a₂, ..., a₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  a_k + a_l,  где  1 ≤ k, l ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

   Решение

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321.
  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары   ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара).
  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.

   Решение

Дано:

Докажите, что  

   Решение

На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.

   Решение

Числа 2¹⁹⁸⁹ и 5¹⁹⁸⁹ выписали одно за другим (в десятичной записи). Сколько всего цифр выписано?

   Решение

Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a³ состоит из m цифр. Может ли  m + n  равняться 2001?

   Решение

Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)

   Решение

Окружность S₁ касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S₂ касается прямой AC в точке C и проходит через точку B. Окружность S₁ она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

   Решение

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

   Решение

В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.

   Решение

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём  SA₁ = SA₂ = ... = SA_n  и  ∠SA₁O =  ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

   Решение

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём  SA₁ = SA₂ = ... = SA_n  и  ∠SA₁O =  ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

Решение

  По теореме синусов для треугольников SA_kO  (k = 1, 2, ..., n)  
  Так как правая часть этого равенства не зависит от выбора  k = 1, 2, ..., n,  величина sin∠SOA_k также не зависит от этого выбора. Следовательно, при различном выборе k величина угла SOA_k может принимать не более двух различных значений, каждое из которых вместе с величинами длин SO, SA_k и угла SOA_k однозначно определяет треугольник SA_kO.
  Если  n ≥ 5,  то среди треугольников SA_kO  (k = 1, 2, ..., 5)  есть по крайней мере три одинаковых. Пусть это, для определенности, треугольники SA₁O, SA₂O и SA₃O. Так как  OA₁ = OA₂ = OA₃, точка O – центр описанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Пусть SH – высота пирамиды SA₁A₂A₃. Тогда точка H также является центром описанной около A₁A₂A₃ окружности, то есть  H = O.
  При  n = 4  из условия не следует, что SO – высота пирамиды. Например, если A₁A₂A₃A₄ – равнобокая трапеция, O – точка пересечения её диагоналей, H – центр описанной около неё окружности, то для пирамиды SA₁A₂A₃A₄, в которой SH является высотой к основанию, выполнены все условия задачи. Действительно, во-первых,   SA₁ = SA₂ = SA₃ = SA₄  в силу равенства (по двум катетам) треугольников SHA₁, SHA₂, SHA₃ и SHA₄, а во-вторых,
∠SA₁O = ∠SA₂O = ∠SA₃O = ∠SA₄O  в силу равенства (по трём сторонам) равнобедренных треугольников SA₁A₃ и SA₂A₄. При этом  H ≠ O.  При  n ≤ 4  из условия тем более не следует, что SO – высота пирамиды (соответствующий пример получается из предыдущего рассмотрением его части – пирамиды SA₁A₂A₃ ).

Ответ

При  n = 5.

Источники и прецеденты использования