Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?
В прямоугольник вписан четырёхугольник (на каждой стороне прямоугольника по
одной вершине четырёхугольника).
Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной диагонали прямоугольника.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.
Еще Архимед знал, что шар занимает ровно объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра). В цилиндрической упаковке находятся 5 стоящих друг на друге шаров. Найдите отношение пустого места к занятому в этой упаковке.
При каких n > 3 правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?
На доске написано n выражений вида *x² + *x + * = 0 (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
|
|
 |
Условие
На доске написано n выражений вида *x² + *x + * = 0 (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
Решение
Приведём стратегию первого игрока, позволяющую ему получить не менее n+1/2 уравнений, не имеющих корней.
Назовём распечатыванием выражения первую замену в нем звёздочки на число. Своим первым ходом, а также в ответ на любой распечатывающий ход второго игрока, первый игрок распечатывает одно из оставшихся выражений, записывая 1 перед x. Если второй игрок записывает число a перед x² или вместо свободного члена в выражении, распечатанном первым, то в ответ первый записывает на оставшееся место число 1/a. Дискриминант получившегося уравнения (D = 1 – 4 = –3) отрицателен, поэтому оно не имеет корней. Если же второй игрок запишет число вместо одной из двух звёздочек в ранее распечатанном им выражении, то первый произвольным образом заполняет в этом выражении оставшееся место. Ясно, что описанная стратегия позволяет первому игроку распечатать n+1/2 выражений, которые он в ходе игры превращает в уравнения, не имеющие корней.
Осталось показать, что второй игрок, мешая первому, может получить n–1/2 уравнений, имеющих корни. В самом деле, второй игрок может n–1/2 раз распечатать выражения, записывая число 1 перед x². Как бы ни играл первый игрок, второй сумеет поставить ещё по одному числу в каждое из распечатанных им выражений. Если место свободного члена не занято, то, записывая на него –1, второй игрок обеспечивает наличие корней. Если же вместо свободного члена первым игроком было записано число c, то второму достаточно записать перед x число и дискриминант полученного уравнения окажется положительным.
Ответ
n+1/2.
