Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P, AB : BC = 2 : 3. Найдите AP : PC.
Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 – ромб KLMN с углом 60o при вершине K . Точки E и F – середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B – на прямых MM1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB .
Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб
ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины
S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы
до прямой AC равно AB .
Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .
Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 6, угол между боковым ребром и
плоскостью основания пирамиды равен arccos .
Точки B1 и C1 – середины рёбер BD и CD соответственно,
CA1 – высота в треугольнике ACD . Найдите:
1) угол между прямыми BC и A1C1 ;
2) площадь треугольника A1B1C1 ;
3) расстояние от точки C до плоскости A1B1C1 ;
4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.
Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды
ABCD равна 3, двугранный угол между боковой гранью
и плоскостью основания пирамиды равен arccos .
Точки A1 и C1 – середины рёбер AD и CD соответственно,
AB1 – высота в треугольнике ABD . Найдите:
1) угол между прямыми AC и A1B1 ;
2) площадь треугольника A1B1C1 ;
3) расстояние от точки A до плоскости A1B1C1 ;
4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.
Основание прямой призмы PQRP1Q1R1 – треугольник
PQR , в котором PQR = 90o , PQ:QR=1:3 . Точка
K – середина катета PQ и LM призмы. Ребро AB правильной
треугольной пирамиды ABCD ( A – вершина) лежит на
прямой PR , вершины C и D – на прямых P1K и QQ1
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды,
если AB:CD=2:3 .
Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём BM = MN.
Докажите, что AM = CN.
В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.
|
|
 |
Условие
В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.
Решение
Сумма всех чисел в таблице неотрицательна, поэтому найдётся строка, содержащая не менее 1000 единиц. Переставим столбцы таблицы так, чтобы в первых 1000 клетках этой строки стояли единицы. Обозначим через A и B прямоугольники 2000·1000, образованные соответственно первыми 1000 и последними 1000 столбцами таблицы.
Пусть A1 – 1000 строк прямоугольника A с наибольшими суммами записанных в них чисел, A2 – остальные 1000 строк. Если сумма чисел в A1 не меньше 1000, то утверждение задачи доказано.
Допустим, что сумма чисел в A1 меньше 1000. Покажем, что тогда в каждой строке из A2 сумма чисел отрицательна. Действительно, если хотя бы в одной из строк из A2 сумма неотрицательна, то и во всех строках из A1 она неотрицательна. Кроме того, одна из строк A1 вся состоит из единиц, следовательно, сумма всех чисел в A1 не меньше 1000. Противоречие.
Отсюда следует, что сумма чисел в каждой строке из A2 не больше чем –2, так как сумма чисел в каждой строке чётна. Значит, сумма чисел во всем прямоугольнике A меньше чем 1000 + (–2)·1000 < –1000. Но тогда сумма чисел в прямоугольнике B больше 1000.
Пусть B1 – 1000 строк прямоугольника B с наибольшими суммами записанных в них чисел, а B2 – 1000 его остальных строк. Докажем, что сумма чисел в B1 не меньше 1000. Это верно, если сумма чисел в каждой строке из B2 неположительна. Если же хотя бы в одной строке из B2 сумма чисел положительна, то она положительна и в каждой строке из B1.
