Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Решите в целых числах уравнение (x² – y²)² = 1 + 16y.
Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из
вершины A, равна .
а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?
На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.
Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы
относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной
равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной
внешними касательными и внешними частями окружностей.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Через точку на ребре треугольной пирамиды проведены две плоскости, параллельные двум граням пирамиды. Эти плоскости отсекают две треугольные пирамиды. Разрежьте оставшийся многогранник на две треугольные призмы.
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:
- Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
- Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .
|
|
 |
Условие
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:
- Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить один камень в клетку n+1 ;
- Снять два камня с клетки n и положить по одному камню в клетки n+1 , n-2 .
Решение
Обозначим через ai количество камней в клетке с номером i .
Тогда последовательность A=(ai) задает конфигурацию –
расположение камней по клеткам.
Пусть α – корень уравнения x2=x+1 , больший 1.
Назовем весом конфигурации A число w(A)= aiαi .
Покажем, что разрешенные действия не меняют веса. Действительно,
αn+1-αn-αn-1=αn-1(α2-
α-1)=0 ,
αn+1-2αn+αn-2 =
αn-2(α-1)(α2-α-1)=0 .
Докажем индукцией по k – числу камней, что любая
последовательность действий завершается. При k=1 это верно. Пусть
при числе камней, меньшем k , утверждение верно.
Рассмотрим процесс, начинающийся с конфигурации A=(ai) с ai =k .
Наибольший номер непустой клетки при разрешенных действиях не уменьшается,
но и расти бесконечно он не может – он не может превысить числа n , при
котором αn > w(A) . Значит, с какого-то момента наибольший номер
непустой клетки перестает изменяться, и с камнями, попавшими в эту клетку,
уже ничего не происходит. Выбросим эти камни, и применим предположение
индукции к оставшимся.
В конечной конфигурации в каждой клетке не более одного камня, и нет
двух непустых клеток подряд. Докажем, что любые две конфигурации A=(ai)
и B=(bi) с такими свойствами имеют разные веса. Пусть n –
наибольший номер, при котором ai= bi ; пусть, для определенности, an=1 ,
bn=0 . Выбросим из A и B все камни с номерами, большими n (они
в A и B совпадают). Для оставшихся конфигураций A' и
B' имеем:
Таким образом, для любой конфигурации есть только одна конечная с
таким же весом; только к ней и может привести процесс.
