Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём
меняется в зависимости от времени t по закону
а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30o.
Доказать, что выражение
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn},
{bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) an = n²;
б)
в)
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Петя тратит ⅓ своего времени на игру в футбол, ⅕ – на учебу в школе, ⅙ – на просмотр кинофильмов, 1/70 – на решение олимпиадных задач и ⅓ – на сон. Можно ли так жить?
Докажите, что на графике функции y = x³ можно отметить такую точку A, а на графике функции y = x³ + |x| + 1 – такую точку B, что расстояние AB не превышает 1/100.
Для натурального n обозначим Sn = 1! + 2! + ... + n!. Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.
В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30o.
Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.
Найдите все такие функции f(x), что f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.
В каждую клетку квадратной таблицы размера (2n – 1)×(2n – 1) ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.
|
|
 |
Условие
В каждую клетку квадратной таблицы размера (2n – 1)×(2n – 1) ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.
Решение 1
Лемма. Пусть в таблице из 2n – 1 столбцов и k строк (k + 1 не кратно 3)
числа ±1 расставлены удачно. Тогда все числа в таблице равны единице.
Доказательство. Индукция по n.
База. При n = 1 имеем один столбец. Пусть в нем стоят числа a1, a2, ..., ak – по порядку сверху вниз. Тогда a1 = a2 (условие для первой клетки),
a2 = a1a3, следовательно, a3 = 1, 1 = a3 = a2a4, следовательно, a4 = a2 = a1. И так далее: все числа, стоящие в клетках с номером, кратным 3, равны 1, а все остальные
равны a1. Поскольку k + 1 не кратно 3, то возможны две ситуации: 1) ak– = a1, ak = 1; 2) ak–1 = 1, ak = a1. Но ak равен произведению своих соседей, то есть ak = ak–1. Следовательно, a1 = 1, и столбец состоит из одних единичек.
Шаг индукции. Введём следующие обозначения. Если A, B – две таблицы одинакового размера, то пусть A·B – таблица, в каждой клетке которой записано произведение чисел из тех же клеток таблиц A и B. A' – таблица, полученная из A зеркальной симметрией: первый столбец меняется с последним, второй – с предпоследним и так далее. Ясно, что если числа в таблицах A и B расставлены удачно, то это же верно для таблиц A·B и A'.
Таблицу, в которой стоят только единицы, будем обозначать 1.
Докажем, что если в таблице A размера k×(2n+1 – 1) числа расставлены удачно, то расстановка симметрична: A = A'. Это равносильно тому, что
A·A' = 1.
В таблице A·A' весь центральный столбец (с номером 2n) состоит из единиц, так как центральные столбцы у A и A' одинаковы. Следовательно, если мы рассмотрим отдельно часть таблицы A·A' слева от центрального столбца, то в этой меньшей таблице
числа расставлены удачно. Размер её – k×(2n – 1), так что по предположению индукции все числа в ней – единицы. То же касается и правой части A·A'. Итак, A·A' = 1.
Значит, для каждого числа из центрального столбца таблицы A числа слева и справа от него одинаковы, поэтому само оно равно произведению своих верхнего и нижнего соседей.
Как показано выше, из этого следует, что центральный столбец заполнен единицами. Теперь снова рассмотрим часть таблицы A слева от центрального столбца. Применяя предположение индукции, убеждаемся, что в ней стоят только единицы. Правая часть симметрична левой, поэтому и она состоит из единиц.
Итак, для всех таблиц размера k×(2n – 1), где k + 1 не кратно 3, единственна. В частности, она единственна при k = 2n – 1, потому что k + 1 = 2n.
Решение 2
Пусть R – удачная расстановка в таблице (2n – 1)×(2n – 1). Расставим числа на клетчатой плоскости, как показано на рисунке слева (симметрия буквы R означает, что там стоит таблица R, отраженная соответствующим образом). Тогда расстановка на всей плоскости удачна (то есть любое число есть произведение его четырёх соседей) и, кроме того, она 2n+1-периодична, то есть при сдвиге на 2n+1 вверх или вправо она переходит в себя.
База (n = 0) очевидна: a = a4, где a – число в клетке.
Шаг индукции. Пусть n ≥ 1. Рассмотрим фрагмент таблицы, показанный на рисунке справа.
Имеем: a23 = a13a22a24a33, a32 = a22a31a33a42, a34 = a24a33a35a44, a43 = a33a42a44a53, откуда
Ответ
Удачная расстановка единственна – все числа равны единице.
.