Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

   Решение

Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L. Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса первой окружности к радиусу второй окружности равно . Найдите отношение отрезков OB и OA.

   Решение

Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
  1) проверять, равны ли выбранные два числа,
  2) складывать выбранные числа,
  3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения  x² + ax + b = 0,  а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?

   Решение

Найти решение уравнения     в целых числах.

   Решение

В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке X, а прямые MC₁ и AC – в точке Y. Докажите, что  XY || BC .

   Решение

Найдите наименьшее значение  x² + y²,  если  x² – y² + 6x + 4y + 5 = 0.

   Решение

Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится на расстояниях и от концов гипотенузы. Найдите катеты.

   Решение

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что каждые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на  k + 2  группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.

   Решение

Год проведения нынешнего математического праздника делится на его номер:  2006 : 17 = 118.
  а) Назовите первый номер матпраздника, для которого это тоже было выполнено.
  б) Назовите последний номер матпраздника, для которого это тоже будет выполнено.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?

   Решение

Найдите объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=5 , AC=1 и CD = 7 , если расстояние между серединами M и N его рёбер AC и BD равно 3, а прямая AC образует равные углы с прямыми AB , CD и MN .

   Решение

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

   Решение

Окружность радиуса 3 проходит через вершину B , середины сторон AB и BC , а также касается стороны AC треугольника ABC . Угол BAC — острый, и sin BAC = . Найдите площадь треугольника ABC .

   Решение

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

   Решение

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Решение

  Из условия следует, что наш многочлен P(x) имеет ненулевую степень. Можно считать старший коэффициент P положительным (иначе сменим знак многочлена). Если P имеет нечётную степень, то при всех достаточно больших по модулю x он возрастает, и, следовательно, только конечное число значений может принимать более чем в одной целой точке. Поэтому степень P чётна.
  Значит, при больших положительных x многочлен возрастает, а при больших по модулю отрицательных x – убывает, и, следовательно, все достаточно большие значения, которые он принимает более чем в одной целой точке, он принимает ровно дважды. Упорядочим эти значения:  a₁ < a₂ < ...  и обозначим x_k – больший, а y_k – меньший прообраз a_k. Таким образом,  P(x_k) = P(y_k) = a_k.
  Рассмотрим два старших коэффициента P:  P(x) = axⁿ + bx^n–1 + ... .  Тогда
P(c – x) = a(c – x)ⁿ + b(c – x)^n–1 + ... = axⁿ – ancx^n–1 – bx^n–1 + ... = axⁿ + (– anc – b)x^n–1 + ... .  Заметим, что коэффициенты при xⁿ у многочленов P(x) и
P(c – x)  совпадают; а для коэффициентов при x^n–1 существует единственное значение c:  c₀ = – ^2b/_an,  при котором они совпадают.
  Если  c > c₀,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с положительным старшим коэффициентом, следовательно, при достаточно больших x его значения положительны. Поэтому при достаточно больших k  x_k + y_k < c₀ + 0,1  (иначе  P(x_k) > P(c₀ + 0,1 – x_k) > P(y_k)).
  Если, наоборот,  c < c₀,  то  P(x) – P(c – x)  – многочлен степени  n – 1  с отрицательным старшим коэффициентом, значения которого при достаточно больших x отрицательны. Поэтому при достаточно больших k  x_k + y_k > c₀ – 0,1.  Но  x_k + y_k  – целые числа, поэтому, начиная с некоторого k, все они равны:  x_k + y_k = c,  где c – целое.
  Но тогда многочлены P(x) и  P(c – x)  совпадают почленно (если не все их коэффициенты совпадают, то при больших x знак  P(x) – P(c – x)  совпадает со знаком первого ненулевого коэффициента этой разности; с другой стороны, среди x_k есть сколь угодно большие числа, и для них  P(c – x_k) = P(y_k) = P(x_k)).
  Итак,  P(x) = P(c – x)  при всех действительных x (то есть график  y = P(x)  имеет вертикальную ось симметрии  x = ^c/₂).  Поэтому единственное значение, которое может приниматься ровно в одной целой точке, – это  P(^c/₂),  да и то, если только  ^c/₂  – целое.

Источники и прецеденты использования