Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;2) параллельно прямой 2x - 3y + 4 = 0.
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между
любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между
любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше,
чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T0+at+bt2 , где T0 = 1160 К, a = 34 К/мин, b = -0,2 К/ мин2 . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?
В пространстве заданы три луча: DA , DB и DC , имеющие общее начало
D , причём ADB =
ADC =
BDC = 90o . Сфера
пересекает луч DA в точках A1 и A2 , луч DB – в точках
B1 и B2 , луч DC – в точках C1 и C2 . Найдите
площадь треугольника A2B2C2 , если площади треугольников
DA1B1 , DA1C1 , DB1C1 и DA2B2 равны
соответственно
, 10, 6 и 40.
Даны точки A(3, 5), B(–6, –2) и C(0, –6). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y³ + 1.
|
|
 |
Условие
Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y³ + 1.
Решение
y³ + 1 = (y + 1)(y² – y + 1), поэтому y + 1 = pα, y² – y + 1 = pβ, где α > 0, β ≥ 0.
Первый способ. Если β = 0, то y = 1, p = 2 (x = 1).
Пусть β > 0. Тогда p – общий делитель чисел y + 1 и y² – y + 1, а значит, и чисел y + 1 и (y + 1)² – (y² – y + 1) = 3y.
Поскольку НОД(y, y + 1) = 1, p = 3. Так бывает: 3² = 2³ + 1.
Второй способ. px = (pα – 1)³ + 1 = pα(3 + A), где A делится на p.
Поскольку 3 + A = pγ (γ ≥ 0), то либо p = 3, либо γ = 0. В последнем случае px = p, x = 1. Значит, y = y³, откуда y = 1, p = 2.
Замечания
Второй способ фактически доказывает следующее
Утверждение. Если px = y2n+1 + 1 (x, y, n – натуральные) и y > 1, то 2n + 1 = pz, где z – натуральное число.
