Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках K и L, пересекаются в точке M. Докажите, что прямая BM перпендикулярна AC.
Найдите x1000, если x1 = 4, x2 = 6, и при любом натуральном n ≥ 3 xn – наименьшее составное число, большее 2xn–1 – xn–2.
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
|
|
 |
Условие
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.
Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?
Решение 1
Допустим, это возможно для прямоугольника ABCD. Пусть AB – его наименьшая сторона. Выберем начало координат в узле сетки и направим оси координат вдоль линий сетки так, чтобы среди вершин прямоугольника вершина A имела наименьшую абсциссу, а вершина B – наименьшую ординату. Через Ax, Bx, Cx, Dx и Ay, By, Cy, Dy обозначим проекции вершин на оси (см. рис.).
Точки на оси Oy лежат в порядке By, Ay, Cy, Dy. При этом AxBx = DxCx = ByAy = CyDy = AB cos 45°, BxDx = AyCy = (AD – AB) cos 45°.
Через t1, t2, t3, t4, s1, s2 обозначим количество точек с целыми координатами соответственно на отрезках AxBx, ByAy, DxCx, CyDy, BxDx, AyCy. На отрезке AxBx ровно t1 целочисленных точек, поэтому сторона AB пересекает ровно t1 вертикальных линий сетки; на отрезке AyDy t4 + s2 целочисленных точек, следовательно, сторона AD пересекает ровно t4 + s2 горизонтальных линий сетки, и т.д. Таким образом, условие пересечения каждой стороной нечётного числа линий сетки эквивалентно нечётности чисел t1 + t2, t3 + t4, t1 + t4 + s1 + s2, t2 + t3 + s1 + s2.
Лемма. Если два отрезка равной длины d расположены на числовой прямой так, что их концы нецелочисленны, то количества целых точек на этих отрезках отличаются не более чем на 1.
Доказательство. Если на отрезке с левым концом в нецелой точке a и правым концом в нецелой точке b лежит k целых точек n, n + 1, ..., n + k – 1, то n – 1 < a < n и n + k – 1 < b < n + k, поэтому k – 1 < d = b – a < k + 1 и d – 1 < k < d + 1, то есть k = [d] или k = [d] + 1.
Из леммы следует, что числа t1, t2, t3, t4 отличаются не более чем на 1, то есть равны t или t + 1, и также числа s1 и s2 равны s или s + 1. Так как t1 + t2 нечётно, то t1 ≠ t2. Пусть для определенности t1 = t, t2 = t + 1.
Если t3 = t, то t4 = t + 1, так как t3 + t4 нечётно. Тогда s1 + s2 = (t1 + t4 + s1 + s2) – (t1 + t4) = (t1 + t4 + s1 + s2) – (2t + 1) чётно. Отсюда s1 = s2. Но тогда (t2 + s2 + t4) – (t1 + s1 + t3) = 2, что противоречит лемме (для отрезков AxCx и ByDy).
Если же t3 = t + 1, то t4 = t. Тогда s1 + s2 = (t1 + t4 + s1 + s2) – (t1 + t4) нечётно, то есть либо s1 = s, s2 = s + 1, либо s1 = s + 1, s2 = s. Оба случая противоречят лемме: первый – для отрезков AxDx и ByCy, второй – для отрезков BxCx и AyDy.
Решение 2
Предположим, такой прямоугольник ABCD существует. Пусть
Отложим на сторонах AB и CD отрезки Тогда отрезки BB' и CC' пересекают по одной вертикальной и горизонтальной линии, а отрезок B'C' получается из BC переносом на вектор с целыми координатами. Поэтому прямоугольник AB'C'D также удовлетворяет условию.
Продолжая такие действия, получим в результате прямоугольник, все
стороны которого меньше (обозначим его опять ABCD). Тогда каждая сторона пересекает не более одной прямой каждого направления, то есть ровно по одной прямой – либо вертикальной, либо горизонтальной.
Пусть A – самая левая точка прямоугольника, а B – самая нижняя, тогда C – самая правая, а D – самая верхняя.
Если отрезки AB и BC пересекают вертикальные прямые, то ломаная CDA их также пересекает, а горизонтальные прямые, соответственно, не пересекает. Тогда проекция ABCD на горизонтальную прямую имеет длину больше 1 (между A и C две вертикальных прямых), а на вертикальную – меньше 1, что невозможно.
Если отрезки AB и BC пересекают (одну и ту же!) горизонтальную прямую, то ABCD лежит в полосе между двумя соседними вертикалями, а тогда AD и DC также пересекают горизонтальную прямую, что невозможно по тем же причинам.
Остался единственный (с точностью до симметрии) случай – AB и CD пересекают одну и ту же вертикальную прямую v, а BC и AD – одну и ту же горизонтальную прямую h. Тогда A и B лежат под h, а C – над h, поэтому BC > AB. Аналогично B и C лежат правее
v, а D – левее v, поэтому BC < CD.
Итак, AB < BC < CD, что невозможно.
Ответ
Не может.
