Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

   Решение

---

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна .

   Решение

---

а) Наконец, у Снежной Королевы появились все квадраты с целыми сторонами, но каждый в единственном экземпляре. Королева пообещала Каю, что он станет мудрым, если сможет из каких-то имеющихся квадратов сложить прямоугольник. Сможет ли он это сделать?
б) Отдыхая, Кай стал заполнять стеклянный аквариум ледяными кубиками, которые лежали рядом. Кубики были самых разных размеров, но среди них не было двух одинаковых. Сможет ли Кай заполнить аквариум кубиками целиком?

   Решение

---

На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD , BCE и ACF . Докажите, что отрезки DE и BF равны и перпендикулярны.

   Решение

---

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вычисление длин дуг ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6 . Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

Решение

Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов r и 3r соответственно, M – точка касания окружностей, AB – общая внешняя касательная этих окружностей (точка A лежит на превой окружности, B – на второй). Опустим перпендикуляр O1F из центра первой окружности на радиус O2B второй окружности. В прямоугольном треугольнике O1O2F известно, что

O1O2 = O1M+O2M = r+3r = 4r, O2F = O2B-BF = O2F-O1A = 3r-r = 2r,
поэтому
FO2O1 = 60^o, AO1O2 = 120^o, AB = O1F = 2r=6,
откуда r=3 , 3r=9 . Пусть P – периметр искомой фигуры, l1 и l2 – длины внешних частей первой и второй окружностей соответственно.
l1 = · 2π r = · 2π · 3= 2π, l2 = · 2π · 3r = · 2π · 9 = 12π
Следовательно,
P = 2AB + l1+l2 = 12 + 14π.

Ответ

14π+12 .

Источники и прецеденты использования