Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?
B правильном шестиугольнике ABCDEF на прямой AF взята точка X так, что ∠XCD = 45°. Hайдите угол FXE.
В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.
Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.
Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?
Точки B1 и B2 лежат на луче AM, а точки C1 и C2 на луче AK. Окружность с центром O вписана в треугольники AB1C1 и AB2C2.
Докажите, что углы B1OB2 и C1OC2 равны.
Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?
Существуют ли нечётные целые числа х, у и z, удовлетворяющие равенству (x + y)² + (x + z)² = (y + z)²?
|
|
 |
Условие
Существуют ли нечётные целые числа х, у и z, удовлетворяющие равенству (x + y)² + (x + z)² = (y + z)²?
Решение
После раскрытия скобок и сокращения подобных получим x² + xy + xz = yz, откуда (x + y)(x + z) = 2yz. Если х, у и z нечётны, то левая часть делится на 4, а правая – нет. Противоречие.
Ответ
Не существуют.
