Внутри круга расположены точки A₁, A₂, ..., A_n, а на его границе – точки B₁, B₂, ..., B_n так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки A_i в точку A_j, если отрезок A_iA_j не пересекается ни с одним из отрезков A_kB_k,  k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки A_p в любую точку A_q.

   Решение

Четырёхугольник ABCD — вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

Дан параллелограмм ABCD. Две окружности с центрами в вершинах A и C проходят через D. Прямая l проходит через D и вторично пересекает окружности в точках X, Y. Докажите, что  BX = BY.

   Решение

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

   Решение

В числе  a = 0,12457...  n-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе    Докажите, что α – иррациональное число.

   Решение

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

   Решение

Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

   Решение

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее значение может принимать выражение     где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?

Решение

Так как a, b, c – положительные числа, не превосходящие 9, то     при любых a и c. Поскольку a и c – разные цифры, то максимальное значение выражения реализуется в одном из двух случаев:   1)  a = 1,  c = 2;   2)  a = 2,  c = 1.  Проверяем:     так как  19·203 = 3857 < 4039.

Ответ

¹/₂₀₃.

Источники и прецеденты использования