Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).
Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω1 и ω2, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω3 и ω4 также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω3 и ω4 тоже касаются.
Точки A и B лежат в плоскости α , M – такая точка в пространстве, для которой AM = 2 , BM = 5 и ортогональная проекция на плоскость α отрезка BM в три раза больше ортогональной проекции на эту плоскость отрезка AM . Найдите расстояние от точки M до плоскости α .
На рисунке изображен график функции y = x² + ax + b. Известно, что прямая AB перпендикулярна прямой y = x.
Найдите длину отрезка OC.
На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
Целые числа a, b и c таковы, что числа a/b + b/c + c/a и a/с + с/b + b/a тоже целые. Докажите, что |a| = |b| = |c|.
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?
В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность с центром O, которая касается стороны AB в точке E. На продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D так, что AD = ½ AC. Докажите, что прямые DE и AO параллельны.
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
Функция f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f(αu + βv) не превосходит хотя бы одного из чисел f(u) или f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
|
|
 |
Условие
Функция f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение f(αu + βv) не превосходит хотя бы одного из чисел f(u) или f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Решение
Оценка. Последовательно докажем, что описанная в условии функция f принимает:
а) не более двух различных значений на любой прямой (проходящей через
точку O): действительно, если она на трёх векторах одной прямой
принимает разные значения, причём на векторе v – наибольшее, а на некотором ненулевом (такой найдётся) векторе u – меньшее значение, то для некоторого числа α получим противоречие: v = αu ⇒ f(v) = f(αu + 0·u) ≤ f(u);
б) не более трёх различных значений на любой плоскости (проходящей
через точку O): действительно, если она на четырёх векторах одной
плоскости принимает разные значения, причём на векторе v –
наибольшее, а на некоторых неколлинеарных (такие, в силу предыдущего
пункта, найдутся) векторах u1, u2 – меньшие значения, то для некоторых чисел α1, α2 получим противоречие: v = α1u1 + α2u2 ⇒ f(v) = f(α1u1 + α2u2) ≤ max{f(u1), f(u2)};
в) не более четырёх различных значений на всём пространстве:
действительно, если она на пяти векторах принимает разные значения,
причём на векторе v – наибольшее, а на некоторых некомпланарных (такие, в силу предыдущего пункта, найдутся) векторах u1, u2, u3 – меньшие значения, то для некоторых чисел α1, α2, α3 получим противоречие:
v = α1u1 + α2u2 + α3u3 ⇒ f(v) = f(α1u1 + (α2u2 + α3u3)) ≤ max{f(u1), f(α2u2 + α3u3)} ≤ max{f(u1), max{f(u2), f(u3)}} = max{f(u1), f(u2), f(u3)}.
Пример функции f, удовлетворяющей условию задачи и принимающей ровно четыре различных значения: введя в пространстве декартовы координаты с началом в точке O, определим v = (x, y, z),
Замечания
Описанная в задаче функция возникла в исследованиях великого русского математика А.М. Ляпунова по устойчивости движения: роль векторов v играли решения линейной системы, образующие n-мерное пространство (в нашем случае – трёхмерное), а значениями функции f служили их показатели Ляпунова.
Такая функция удовлетворяла описанному в условии нашей задачи неравенству f(u + v) = max{f(u), f(v)}, откуда вытекало, что у решений одной системы могло быть не более n различных конечных показателей Ляпунова (не считая показателя нулевого решения, равного по определению – ∞).
Для доказательства этого факта достаточно заметить, что у функции f прообраз любого замкнутого луча [– ∞, y] представляет собой в исходном пространстве линейное подпространство, так как f(u), f(v) ≤ f(αu + βv) ≤ y, а значит, если бы функция принимала не менее n + 2 различных значений
y0 < y1 < ... < yn < yn+1, то прообразы соответствующих им лучей образовывали бы систему из n + 2 вложенных подпространств
L0 ⊂ L1 ⊂ ... ⊂ Ln ⊂ Ln+1 возрастающей размерности, что противоречит n-мерности исходного пространства.
