Функция  f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число  f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение  f(αu + βv)  не превосходит хотя бы одного из чисел  f(u) или  f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?

   Решение

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Функция  f каждому вектору v (с общим началом в точке O) пространства ставит в соответствие число  f(v), причём для любых векторов u, v и любых чисел α, β значение  f(αu + βv)  не превосходит хотя бы одного из чисел  f(u) или  f(v). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?

Решение

  Оценка. Последовательно докажем, что описанная в условии функция  f принимает:
  а) не более двух различных значений на любой прямой (проходящей через точку O): действительно, если она на трёх векторах одной прямой принимает разные значения, причём на векторе v – наибольшее, а на некотором ненулевом (такой найдётся) векторе u – меньшее значение, то для некоторого числа α получим противоречие:  v = αu  ⇒   f(v) = f(αu + 0·u) ≤ f(u);
  б) не более трёх различных значений на любой плоскости (проходящей через точку O): действительно, если она на четырёх векторах одной плоскости принимает разные значения, причём на векторе v – наибольшее, а на некоторых неколлинеарных (такие, в силу предыдущего пункта, найдутся) векторах u₁, u₂ – меньшие значения, то для некоторых чисел α₁, α₂ получим противоречие:  v = α₁u₁ + α₂u₂  ⇒  f(v) = f(α₁u₁ + α₂u₂) ≤ max{f(u₁), f(u₂)};
  в) не более четырёх различных значений на всём пространстве: действительно, если она на пяти векторах принимает разные значения, причём на векторе v – наибольшее, а на некоторых некомпланарных (такие, в силу предыдущего пункта, найдутся) векторах u₁, u₂, u₃ – меньшие значения, то для некоторых чисел α₁, α₂, α₃ получим противоречие:
    v = α₁u₁ + α₂u₂ + α₃u₃  ⇒  f(v) = f(α₁u₁ + (α₂u₂ + α₃u₃)) ≤ max{f(u₁), f(α₂u₂ + α₃u₃)} ≤ max{f(u₁), max{f(u₂), f(u₃)}} = max{f(u₁), f(u₂), f(u₃)}.

  Пример функции f, удовлетворяющей условию задачи и принимающей ровно четыре различных значения: введя в пространстве декартовы координаты с началом в точке O, определим  v = (x, y, z),  

Замечания

  Описанная в задаче функция возникла в исследованиях великого русского математика А.М. Ляпунова по устойчивости движения: роль векторов v играли решения линейной системы, образующие n-мерное пространство (в нашем случае – трёхмерное), а значениями функции  f служили их показатели Ляпунова.
  Такая функция удовлетворяла описанному в условии нашей задачи неравенству  f(u + v) = max{f(u), f(v)},  откуда вытекало, что у решений одной системы могло быть не более n различных конечных показателей Ляпунова (не считая показателя нулевого решения, равного по определению – ∞).
  Для доказательства этого факта достаточно заметить, что у функции  f прообраз любого замкнутого луча  [– ∞, y]  представляет собой в исходном пространстве линейное подпространство, так как  f(u), f(v) ≤ f(αu + βv) ≤ y,  а значит, если бы функция принимала не менее  n + 2  различных значений
y₀ < y₁ < ... < y_n < y_n+1,  то прообразы соответствующих им лучей образовывали бы систему из  n + 2  вложенных подпространств
L₀ ⊂ L₁ ⊂ ... ⊂ L_n ⊂ L_n+1  возрастающей размерности, что противоречит n-мерности исходного пространства.

Источники и прецеденты использования