Дана клетчатая полоса  1×N.  Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй – нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто из игроков может всегда выиграть (как бы ни играл его соперник)?

   Решение

Восстановите вписанно-описанный четырёхугольник $ABCD$ по серединам дуг $AB$, $BC$, $CD$ его описанной окружности.

   Решение

Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?

   Решение

В четырехугольнике $ABCD$ $AB\perp CD$ и $AD\perp BC$. Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.

   Решение

Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

   Решение

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

   Решение

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

   Решение

Некоторые клетки доски $100 \times 100$ покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. Оказалось, что все красные фишки стоят в разных столбцах, а синие фишки — в разных строках. Докажите, что найдётся клетка, в которой стоят и синяя, и красная фишки.

   Решение

Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции, и расположите найденные величины по возрастанию.

   Решение

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Геометрический смысл классических неравенств.

Прислать комментарий

Условие

Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции, и расположите найденные величины по возрастанию.

Решение

  Для определённости будем считать, что  BC = a < b = AD.

  Пусть M и N – середины боковых сторон трапеции. Тогда MN – её средняя линия, следовательно,  MN = ½ (BC + AD) = ½ (a + b).

  Пусть прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку O пересечения диагоналей и пересекает боковые стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом  ^AD/_BC = ^b/_a,  а треугольник AOP подобен треугольнику ACB с коэффициентом  ^AO/_AC = ^b/_a+b,  значит,  OP = ^b/_a+b·BC = ^ab/_a+b.

  Аналогично  OQ = ^ab/_a+b.  Следовательно,  PQ = ^2ab/_a+b.

  Пусть прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции в точках E и F соответственно и при этом трапеция BEFC подобна трапеции EADF. Тогда  BC : EF = EF : AD,  значит,  EF² = BC·AD = ab.  Следовательно,  

  Пусть прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции в точках G и H соответственно и при этом трапеции BGHC и AGHD равновелики.
  Обозначим  GH = x.  Если прямые AB и CD пересекаются в точке T, то треугольник TGH подобен треугольнику TBC с коэффициентом  ^GH/_BC = ^x/_a,  треугольник TAD подобен треугольнику TBC с коэффициентом  ^AD/_BC = ^b/_a.
  Обозначим  S_TBC = S.  Тогда  S_TGH = ^x/_a·2S,  S_TAD = ^b/_a·2S,  S_BGHC = S_TGH – S_TBC = ^x/_a·2S – S,  S_AGHD = S_TAD – S_TGH = ^b/_a·2S – ^x/_a·2S.

  Из уравнения  ^x/_a·2S – S = ^b/_a·2S – ^x/_a·2S  находим, что  
  Из рисунка ясно, что самый близкий к меньшему основанию – отрезок PQ, затем EF, MN и GH.

Ответ

Источники и прецеденты использования