В равенстве  (ay^b)^c = – 64y⁶  замените a, b и c целыми числами, отличными от 1, так, чтобы получилось тождество.

   Решение

У Пети в бутылке было "Фанты" на 10% больше, чем у Васи. Петя отпил из своей бутылки 11% её содержимого, а Вася из своей – 2% содержимого. У кого после этого осталось больше "Фанты"?

   Решение

Имеется таблица n×n, в  n – 1  клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?

   Решение

Решите неравенство:  

   Решение

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

   Решение

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

Треугольник ABC с острым углом  ∠A = α  вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.

   Решение

Найдите наибольшее значение выражения  x²y – y²x,  если  0 ≤ x ≤ 1  и  0 ≤ y ≤ 1.

   Решение

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, см. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)

   Решение

Известно, что для вписанного в окружность четырёхугольника ABCD выполнено равенство  AB : BC = AD : DC.  Прямая, проходящая через вершину B и середину диагонали AC, пересекает окружность в точке M, отличной от B. Докажите, что  AM = CD.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана делит площадь пополам ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Известно, что для вписанного в окружность четырёхугольника ABCD выполнено равенство  AB : BC = AD : DC.  Прямая, проходящая через вершину B и середину диагонали AC, пересекает окружность в точке M, отличной от B. Докажите, что  AM = CD.

Решение

Диагональ BM четырёхугольника ABCM делит пополам его диагональ AC, значит, она делит пополам и площадь четырёхугольника ABCM, а так как
sin∠BCM = sin∠BAM,  то  AB·AM = BC·CM,  или  AB : BC = CM : AM.  Таким образом,  AD : DC = CM : AM.  Поэтому треугольники ADC и CMA подобны, а так как AC – их общая сторона, то эти треугольники равны. Следовательно,  AM = CD.

Источники и прецеденты использования