Информация о задаче

Выбрано 15 задач

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь четырёхугольника KCDL, если площадь треугольника ABC равна 24.

Решение

Медианой пятиугольника ABCDE назовём отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и т.д.). Докажите, что если четыре медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

Решение

Пусть a – длина стороны правильного пятиугольника, d – длина его диагонали. Докажите, что d² = a² + ad.

Решение

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) взята точка O так, что OA = OB = b. В треугольнике ABC CD — высота, точка E— середина отрезка OC, DE = a. Найдите CE.

Решение

Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

Решение

На рисунке изображена фигура ABCD . Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки (причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC , чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

Решение

Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.

Решение

Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4, BC = $\sqrt{2}$ , AC = 2.

Решение

Построить прямоугольный треугольник, зная, что часть катета от вершины острого угла до точки касания с вписанной окружностью равна данному отрезку m , а противолежащий этому катету угол равен данному углу α .

Решение

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

Решение

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Длины противоположных сторон AB и CD соответственно равны 9 и 4, AC = 7, BD = 8. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Решение

Окружность пересекает стороны угла FEG в точках F, N, M и G, точка N находится между E и F, точка M — между E и G. Величины углов FNM и MFG равны ${\frac{3\pi}{4}}$ и ${\frac{\pi}{3}}$ соответственно, FN = $\sqrt{2}$ MN. Чему равна величина угла FEG?

Решение

Точки B1 и C1 расположены на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC . Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке P ; O – центр вписанной окружности треугольника AB1C1 , M – точка касания этой окружности с отрезком B1C1 . Известно, что прямые OP и BB1 перпендикулярны. Докажите, что AOC1 = MPB1 .

Решение

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке F . Известно, что точки B , D , E и F лежат на одной окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования