Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).
а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.
Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f1(x), f2(x), ..., fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P1(x) = f2(f1(f2(x))))?
Даны две пересекающиеся окружности с центрами O1, O2. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O1O2 на наибольшее расстояние.
|
|
 |
Условие
Даны две пересекающиеся окружности с центрами O1, O2. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O1O2 на наибольшее расстояние.
Решение
Пусть O, r – центр и радиус некоторой окружности, касающейся данных; r1, r2 – радиусы данных окружностей. Тогда либо OO1 = r1 – r, OO2 = r2 + r, либо OO1 = r1 + r, OO2 = r2 – r, и в обоих случаях OO1 + OO2 = r1 + r2. Следовательно, среди всех точек, удовлетворяющих этому условию, надо найти наиболее удалённую от прямой O1O2. Наибольшую высоту среди всех треугольников с данными одной стороной и суммой двух других имеет равнобедренный (см. решение задачи 55613). Отсюда получаем, что центр искомой окружности лежит на равных расстояниях ½ (r1 + r2) от точек O1 и O2, а её радиус равен ½ |r1 – r2|.
