Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т.е.

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус его описанной окружности.

   Решение

---

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax¹¹ + bx⁴ + c = 0,  bx¹¹ + cx⁴ + a = 0,  cx¹¹ + ax⁴ + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

   Решение

---

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

   Решение

---

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

   Решение

---

Построить такой равнобедренный треугольник, чтобы периметр всякого вписанного в него прямоугольника (две вершины которого лежат на основании треугольника) был постоянный.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

   Решение

---

Решите уравнение:

   Решение

---

Докажите, что если (x+)(y+)=1 , то x+y=0 .

   Решение

---

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

   Решение

---

Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.

   Решение

---

Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на четыре треугольника и три четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см. Сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см. Периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин жирных отрезков.

   Решение

---

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Окружность Аполлония ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

Решение 1

  Пусть искомая точка P построена и лежит внутри треугольника ABC (рис. слева). Тогда ∠APB = ∠A₁C₁B₁ + ∠C = 60° + ∠C.
  Таким образом, искомая точка P является пересечением геометрического места точек, из которых сторона AB видна под углом  60° + ∠C,  и геометрического места точек, из которых сторона BC видна под углом  60° + ∠A  (рис. справа).
  Если, например,  ∠A ≥ 120°,  то искомая точка P лежит вне треугольника или на стороне BC. При этом способ построения точки P не изменится, но сторона BC будет видна из точки P не под углом  60╟ + ∠A,  под углом  360° – ∠A.

Решение 2

  Из подобия треугольников APC и C₁PA₁ (рис. слева) следует, что  AP : AC = C₁P : C₁A₁.  Аналогично  BP : BC = C₁P : C₁B₁.  Cледовательно,
AP : BP = AC : BC,  то есть точка P лежит на окружности Аполлония точек A и B.
  Аналогично построив еще одну окружность Аполлония, например, для точек A и C, на их пересечении получим искомую точку.

Замечания

  Из решения 2 следует, что  AP·BC = BP·AC = CP·AP,  то есть расстояния от точки P до вершин треугольника обратно пропорциональны длинам противолежащих сторон.   Точки, обладающие таким свойством, называются точками Аполлония треугольника ABC. В любом треугольнике таких точек две. Если все углы треугольника меньше 120°, то одна из точек лежит внутри треугольника, а другая вне. Если один из углов больше 120°, то обе точки лежат вне треугольника.
  Отметим следующие свойства точек Аполлония:
  1. Педальные треугольники точек Аполлония – правильные.
  Поэтому возможен другой вариант рассуждения, изложенного во втором решении, – доказать, что треугольник A₁B₁C₁ подобен педальному треугольнику точки P.
  2. При инверсии относительно описанной окружности точки Аполлония переходят друг в друга. Отсюда, в частности, следует, что соединяющая их прямая проходит через центр описанной окружности.
  3. Так как  ∠PAB + ∠PCB = ∠A₁AB + ∠C₁CB = 60°,  то точки P изогонально сопряжены точкам Торричелли треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования