Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём
меняется в зависимости от времени t по закону
а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
В остроугольном треугольнике KLN высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла K пересекает отрезок OH в такой точке M, что OM : MH = 3 : 1. Найдите площадь треугольника KLN, если LN = 4, а разность углов L и N равна 30o.
Доказать, что выражение
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2
Из имеющихся последовательностей {bn} и {cn} (возможно, {bn} совпадает с {cn}) разрешается получать последовательности
{bn + cn},
{bn – cn}, {bncn} и {bn/cn} (если все члены последовательности {cn} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {an}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
а) an = n²;
б)
в)
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Решение 1
Запишем уравнение в виде (x – 1)4 + (a + 4)x + b – 1 = 0. После замены t = x – 1, оно примет вид: t4 = – (a + 4)t – (a + b + 3).
Функция t4 выпукла, поэтому ее график не может иметь с прямой y = – (a + 4)t – (a + b + 3) более двух точек пересечения (см. рис.).
Решение 2
Как известно, между двумя соседними корнями дифференцируемой функции есть корень её производной. Поэтому достаточно проверить, что производная функции f(x) = х4 – 4х³ + 6х² + aх + b имеет ровно один корень. Действительно, f'(x) = 4х³ – 12х² + 12х + a = 4(х – 1)³ + (a + 4), а уравнение вида (х – 1)³ = с всегда имеет ровно один корень.
Ответ
Не существуют.
