Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .
Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.
Дано 101-элементное подмножество A множества S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых t1, ..., t100 из S множества
Aj = {x + tj | x ∈ A; j = 1, ..., 100} попарно не пересекаются.
У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.
В трапеции ABCD AB – основание, AC = BC, H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.
Дан выпуклый четырёхугольник ABMC , в котором
AB=BC , BAM = 30o ,
ACM=
150o . Докажите, что AM – биссектриса
угла BMC .
Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Фёдором и котом, то кот станет крайним слева. В каком порядке они сидят?
Если для вчера завтра был четверг, то какой день будет вчера для послезавтра?
Пусть P(x) – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами, k – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен
Qk(x) = P(P(...P(P(x))...)) (P применён k раз). Докажите, что существует не более n целых чисел t, при которых Qk(t) = t.
Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида np – p не делятся на q.
Найдите все такие пары (x, y) целых чисел, что 1 + 2x + 22x+1 = y².
Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?
|
|
 |
Условие
Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?
Решение
Первый способ. Пусть до места встречи Петя проехал 10 + x км, тогда до Николаево ему оставалось ехать 3x км. Коля проехал до места встречи
20 + y км, и ему до Петрово оставалось ехать 2y км (см. рис.).
Второй способ. Пусть S км – искомое расстояние. Тогда до встречи Петя проехал 10 + ¼ (S – 10) (км), а Коля – 20 + ⅓ (S – 20) (км). Следовательно, 10 + ¼ (S – 10) + 20 + ⅓ (S – 20) = S. Решив уравнение, получим S = 50.
Третий способ. Пусть, проехав 10 км, Петя оказался в точке A, а Коля, проехав 20 км, – в точке B. Тогда до встречи Петя от A проехал четверть отрезка AB и еще 5 км, а Коля от B – треть AB и еще 10/3 км. Значит, 5 + 10/3 = 25/3 км составляют 1 – ⅓ – ¼ = 5/12 отрезка AB.
Таким образом, AB = 12/5·25/3 = 20 км, а весь путь равен 20 + 30 = 50 км.
Ответ
50 км.
