Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.
Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что AX = AY = 1. Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.
Разрежьте фигуру на рис. на 8 одинаковых частей.
Найти сумму 1 + 2002 + 20022 + ... + 2002n.
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике каждый катет меньше гипотенузы.
Если у осьминога четное число ног, он всегда говорит правду. Если
нечетное, то он всегда лжет. Однажды зеленый осьминог сказал
темно-синему:
- У меня 8 ног. А у тебя только 6.
- Это у меня 8 ног, - обиделся темно-синий. - А у тебя всего 7.
- У темно-синего действительно 8 ног, - поддержал фиолетовый и
похвастался: - А вот у меня целых 9!
- Ни у кого из вас не 8 ног, - вступил в разговор полосатый
осьминог. - Только у меня 8 ног!
У кого из осьминогов было ровно 8 ног?
На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.
Дед звал внука к себе в деревню:
– Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У меня там растёт четыре груши, а ещё есть яблони, причём они посажены так, что на расстоянии 10 метров от каждой яблони растёт ровно две груши.
– Ну и что тут интересного, – ответил внук. – У тебя всего две яблони.
– А вот и не угадал, – улыбнулся дед. – Яблонь у меня в саду больше, чем груш.
Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду у деда. Постарайтесь разместить на рисунке как можно больше яблонь, не нарушая условий.
Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?
Скупой рыцарь хранит золотые монеты в 77 сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну по этим двум сундукам. Потом он заметил, что если открыть любые 3, или любые 4, ..., или любые 76 сундуков, то тоже можно так переложить лежащие в них монеты, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга не успел проверить, можно ли разложить все монеты поровну по всем 77 сундукам. Можно ли, не заглядывая в сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и M соответственно так, что KM || AC. Отрезки AM и KC пересекаются в точке O. Известно, что AK = AO и KM = MC. Докажите, что AM = KB.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.
Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.
Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.
|
|
 |
Условие
Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.
Решение
Для каждой клетки первого сегмента определим её маршрут – последовательность клеток, которые проходит стоящая на ней фишка до возвращения в первый сегмент. Клетка "возвращения" в маршрут уже не входит. Длиной маршрута назовём количество входящих в него клеток. Это и есть количество операций, которое подсчитывается. (Если после первой операции фишка остается в первом сегменте, то длина её маршрута равна 1.)
По условию операция осуществляет взаимно однозначное соответствие между клетками полоски и, поэтому, обратима. Следовательно, начав с любой клетки маршрута, можно однозначно вернуться к его началу – единственной клетке маршрута, принадлежащей первому сегменту. Значит, через каждую клетку полосы проходит не более одного маршрута. Отсюда же следует, что маршрут не содержит циклов и, поэтому, всегда заканчивается.
Левую клетку каждого сегмента назовём критической. Докажем, что если маршрут не содержит ни одной критической клетки, то сдвинув все его клетки на "единицу" влево, мы получим новый маршрут той же длины. Действительно, для фишки стоящей на клетке такого маршрута, все равно: сначала сдвинуться на одну клетку влево, а потом сделать ход-операцию, или сначала сделать ход, а потом сдвинуться влево. Поскольку, ход из конца старого маршрута ведёт в первый сегмент, то сдвиг влево из этого сегмента не выводит. Поэтому сдвиг переводит конец старого маршрута в конец нового, то есть длина маршрута не меняется.
Значит, достаточно рассмотреть только длины маршрутов, проходящих через критические клетки. Но таких клеток ровно сто, следовательно, и длин соответствующих маршрутов не больше ста.
Замечания
10 баллов
