Докажите, что  x² + y² + 1 ≥ xy + x + y  при любых x и y.

   Решение

Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

   Решение

Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 21, а катет BC равен 28. Окружность, центр O которой лежит на гипотенузе AC, касается обоих катетов.
Найдите радиус окружности.

   Решение

Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB – в точке M (M между C и K). Найдите ∠DCK, если  ∠AKB = ∠AMB.

   Решение

За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

   Решение

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

   Решение

4 монеты. Из четырех монет одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за два взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

   Решение

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

   Решение

Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Докажите, что точки A, B и C — основания высот треугольника O₁O₂O₃.

   Решение

В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую, проходящую через точку A.
Докажите, что треугольники HB₁C₁ и ABC подобны.

   Решение

Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?

   Решение

Какие восемь монет нужно взять, чтобы с их помощью можно было бы без сдачи заплатить любую сумму от 1 коп. до 1 руб.?
(В хождении были монеты в 1, 3, 5, 10, 20 и 50 коп.)

   Решение

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

Прислать комментарий

Условие

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Решение

Предположим, что нам это удалось. Теперь пятерка встречается 7 раз. Внутри цепочки она встречается чётное число раз. Значит, на одном из концов – пятерка. Аналогично можно доказать, что на концах находятся и все остальные "знаки" домино. Но знаков шесть, а концов всего два. Противоречие.

Источники и прецеденты использования