Верно ли, что многочлен  P(n) = n² + n + 41  при всех n принимает только простые значения?

   Решение

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

   Решение

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

   Решение

а) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски. Очередным ходом надо побить хотя бы одну небитую клетку. Слон бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Та же игра, но с ладьями.

   Решение

Докажите неравенство  2^m+n–2 ≥ mn,  где m и n – натуральные числа.

   Решение

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

   Решение

Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй – 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.

   Решение

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ определяются точки  A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

   Решение

Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

   Решение

На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, не пересекающим отрезков, проведенных ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Тема:    [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Имеются две кучки конфет: в одной - 20, в другой - 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Выигрывает первый игрок. Выигрышными являются позиции с двумя нечетными кучками. Первый ход - сьесть кучку из 21 конфеты и разделить кучку из 20 конфет на любые две нечетные кучки.

Источники и прецеденты использования