Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.

   Решение

Даны две окружности радиусов R и r, одина вне другой. К ним проведены две общие внешние касательные. Найдите их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол. (R > r).

   Решение

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

   Решение

Имеется n случайных векторов вида  (y₁, y₂, y₃),  где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор a с координатами  (Y₁, Y₂, Y₃).
  а) Найдите математическое ожидание случайной величины a².
  б) Докажите, что  

   Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

   Решение

Докажите, что если  α < β  и  αβ ≠ 0,   то  S_α(x) ≤ S_β(x).
Определение средних степенных S_α(x) можно посмотреть в справочнике.

   Решение

В стране Ориентация на всех дорогах введено одностороннее движение, причём из каждого города в любой другой можно добраться, проехав не более чем по двум дорогам. Одну дорогу закрыли на ремонт так, что из каждого города по-прежнему можно добраться до любого другого. Докажите, что для каждых двух городов это можно сделать, проехав не более чем по трём дорогам.

   Решение

Тема:    [ Ориентированные графы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В стране Ориентация на всех дорогах введено одностороннее движение, причём из каждого города в любой другой можно добраться, проехав не более чем по двум дорогам. Одну дорогу закрыли на ремонт так, что из каждого города по-прежнему можно добраться до любого другого. Докажите, что для каждых двух городов это можно сделать, проехав не более чем по трём дорогам.

Решение

  Пусть удалена дорога, ведущая из А в В. Рассмотрим произвольные два города C и D, отличные от А и В.
  1) До удаления дороги АВ из C в D можно было проехать по одной или двум дорогам. Очевидно, ни одна из них не совпадает с АВ. Поэтому удаление дороги АВ не повлияет на проезд из C в D.
  2) После удаления дороги АВ по условию остался путь из A в B. Пусть E – последний город на этом пути перед B. Как показано выше, из C в E можно проехать не более чем по двум дорогам. Значит, из C в B можно проехать не более чем по трём дорогам.
  Аналогично доказывается, что из А можно проехать в D не более чем по трём дорогам.
  3) До удаления дороги АВ из A в E можно было не более чем по двум дорогам. Очевидно, ни одна из них не совпадает с АВ. Поэтому после удаления дороги АВ из А в В можно проехать не более чем по трём дорогам (по маршруту АEВ).

Источники и прецеденты использования