Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите радиус сферы.
Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол 360°/N (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM0, через секунду – OM1, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM2, ещё через три секунды после этого – OM3, и т. д., ещё через N – 1 секунду после ОМN–2 – OMN–1.
При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся
степенями двойки?
AB и A1B1 — два скрещивающихся отрезка. O и O1 — соответственно их середины. Докажите, что отрезок OO1 меньше полусуммы отрезков AA1 и BB1.
Решите уравнение $$ x^3+(\log_25+\log_32+\log_53) x=(\log_23+\log_35+\log_52) x^2+1. $$
По окружности написаны 12 чисел а1, а2, ..., а12. Если их списать, начиная с номера k, то получится вектор xk:
xk=(аk, аk+1, ..., аk+11), где под а13 понимается а1, под а14 понимается а2 и т.д. Вектор xk считается меньше вектора xp, если в первой же неравной паре будет аk+j<аp+j(j=0,1,...). Найти такое k, чтобы вектор xk был минимален.
Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?
Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.
Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
|
|
 |
Условие
Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты – целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то еще узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
Решение 1
Лемма. Пусть точки X, Y принадлежат треугольнику ABC, но не совпадают с его вершинами, и отрезок XY не параллелен ни одной из сторон треугольника. Тогда от одной из вершин треугольника ABC можно отложить отрезок, равный и параллельный XY, так, что второй его конец окажется внутри треугольника.
Доказательство. Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные XY. Одна из этих прямых лежит между двумя другими. Если, например, эта прямая проходит через вершину A, то она пересечёт сторону BC в некоторой точке D и разобьёт ABC на треугольники ABD и ACD. Отрезок XY лежит в одном из них и параллелен стороне AD, поэтому он короче AD. Значит, если отложить от точки A внутрь треугольника отрезок AZ, параллельный и равный XY, его конец Z окажется внутри треугольника ABC.
Вернёмся к задаче. Пусть X и Y – два узла внутри треугольника ABC. Если прямая XY параллельна одной из сторон треугольника, все в порядке. В противном случае, точка Z, построенная согласно лемме, также является узлом. По условию она совпадает с одной из точек
X или Y. Но тогда точки X и Y лежат на прямой, проходящей через соответствующую вершину треугольника.
Решение 2
Если прямая XY не проходит через вершины треугольника ABC, то она не пересекает одну из его сторон, например, AB. Тогда внутри треугольников AXB и AYB нет узлов, и по формуле Пика (см. задачу 58208) площади треугольников AXB и AYB равны. Значит, точки X и Y находятся на равных расстояниях от прямой AB, то есть прямая XY параллельна прямой AB (см. рис.).
Замечания
1. См. также задачу 32895.
2. 6 баллов.
