Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

   Решение

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

   Решение

Существуют ли такие
  а) 4 различных натуральных числа;
  б) 5 различных натуральных чисел;
  в) 5 различных целых чисел;
  г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?

   Решение

Докажите, что если  + = , то  A = 120^o.

   Решение

Докажите, что  a₁a₂...a_n–1a_n  ≡  a_n–1a_n (mod 4).

   Решение

Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110^o.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, вторично пересекающие другую окружность в точках P и Q соответственно. Докажите, что хорда PQ окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.

   Решение

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку K первой окружности проводятся прямые KA и KB, вторично пересекающие другую окружность в точках P и Q соответственно. Докажите, что хорда PQ окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.

Подсказка

Докажите, что касательная к первой окружности, проведённая через точку K, параллельна PQ.

Решение

Первый способ. Провёдем касательную KF к первой окружности (точки F и Q лежат по разные стороны от прямой AK). Она перпендикулярна диаметру KM и  ∠AKF = ∠ABK = ∠APQ.  Следовательно,  PQ || KF ⊥ KM.

Второй способ.  ∠APQ = ∠ABK = ½ ⌣AK = ½ (180° – ⌣AM) = 90° – ∠AKM,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования