Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен одной из высот.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = .

   Решение

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

   Решение

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.

   Решение

На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.

   Решение

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

   Решение

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Площадь трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

Решение

EK || AB  в силу симметрии трапеции относительно прямой, соединяющей середины оснований. Пусть O – центр данной окружности, M – середина AB. Из прямоугольного треугольника AEO видно, что    Площадь равностороннего треугольника AEM равна    а трапеция ABKE разбивается на три равных треугольника AEM, BKM и EMK.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования