С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A₁C₁. Прямые AD и A₁C₁ пересекаются в точке K. Докажите, что  2A₁K = |b – c|.

   Решение

Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.

   Решение

К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A . Найдите A .

   Решение

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Подсказка

Точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех сторон треугольника.

Решение

Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, проведённых из вершин B и C. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла B, то она равноудалена от прямых AB и BC. В то же время точка O лежит на биссектрисе угла C, поэтому она равноудалена от прямых AC и BC. Значит, точка O равноудалена от прямых AB и AC. Так как она находится внутри треугольника ABC, то лежит и на биссектрисе угла A.

Замечания

Поскольку точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон, она является центром вписанной в треугольник окружности.

Источники и прецеденты использования