В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T₁T₂ (T₁ и T₂ — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A₁ и A₂. Докажите, что A₁T₁ = A₂T₂ (или, что эквивалентно, A₁T₂ = A₂T₁).

   Решение

В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = ^3r/₈.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

   Решение

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

   Решение

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

   Решение

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

   Решение

Три равных окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S , которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S1 , S2 , S3 , равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.

   Решение

Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делит этот угол на три равные части.

   Решение

Основание KM равнобедренного треугольника KLM является хордой окружности, центр которой лежит вне треугольника KLM. Прямые, проходящие через точку L, касаются окружности в точках P и Q. Найдите площадь треугольника PLQ, если  KL = LM = ,  ∠KLM = 2 arcsin ,  а радиус окружности
равен 1.

   Решение

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

   Решение

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

Подсказка

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

  Пусть BM и CK – биссектрисы треугольника ABC,  AB = AC = b,  KM = m.  Поскольку  ∠KMB = ∠MBC = ∠KBM,  то треугольник KBM – равнобедренный. Поэтому  BK = KM = m.  Аналогично,  MC = BK = m.
  По свойству биссектрисы треугольника  AB : BC = AM : MC,  или  b : BC = (b – m) : m.  Отсюда находим, что  BC = ^bm/_b–m.

Ответ

^bm/_b–m.

Источники и прецеденты использования