Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.

   Решение

---

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

   Решение

---

Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.

   Решение

---

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

   Решение

---

Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.

   Решение

---

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через противоположные вершины A1 , C и середину ребра D1C1 . Найдите расстояние от вершины D1 до плоскости P , если ребро куба равно 6.

   Решение

---

Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

   Решение

---

Существует ли невырожденный треугольник АВС, для углов которого выполняется равенство: sinA + sinB = sinC?

   Решение

---

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P – середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что  2CD = 3RD.  Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если  AD = 2BC.

   Решение

---

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

   Решение

---

Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R касается прямых AB и AD в точках B и D соответственно и пересекает сторону BC в точке L, причём 4BL = BC. Найдите площадь ромба.

   Решение

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R касается прямых AB и AD в точках B и D соответственно и пересекает сторону BC в точке L, причём 4BL = BC. Найдите площадь ромба.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на сторону BC.

Решение

Пусть BC = 4x. Тогда BL = x, CL = 3x. Опустим перпендикуляр OP из центра O данной окружности на сторону BC ромба. Тогда

Если BCD = , то

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что x = . Тогда

Следовательно,

Ответ

.

Источники и прецеденты использования