Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

   Решение

Докажите, что уравнение  a₁ sin x + b₁ cos x + a₂ sin 2x + b₂ cos 2x + ... + a_n sin nx + b_n cos nx = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях a₁, b₁, a₂, b₂, ..., a_n, b_n.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что  AB = BC,  AC = 10.  Из середины D стороны AB проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 40. Найдите периметр треугольника AEC.

   Решение

В треугольнике боковая сторона равна 16 и образует с основанием угол в 60^o; другая боковая сторона равна 14. Найдите основание.

   Решение

В равнобедренную трапецию вписана окружность.
Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.

   Решение

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны.
Найдите радиус окружности.

   Решение

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

   Решение

Докажите, что  cos²(/2) = p(p - a)/bc и  sin²(/2) = (p - b)(p - c)/bc.

   Решение

Равнобедренные треугольники ABC  (AB = BC)  и   A₁B₁C₁  (A₁B₁ = B₁C₁)  подобны и  AB : A₁B₁ = 2 : 1.  Вершины A₁, B₁ и C₁ расположены соответственно на сторонах CA, AB и BC, причём   A₁B₁ ⊥ AC.  Найдите угол B.

   Решение

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

   Решение

Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная.

   Решение

В равнобедренной трапеции ABCD основания  AD = 12,  BC = 6,  высота равна 4. Диагональ AC делит угол BAD трапеции на две части. Какая из них больше?

   Решение

В треугольнике ABC отмечены середины сторон AC и BC – точки M и N соответственно. Угол MAN равен 15°, а угол BAN равен 45°.
Найдите угол ABM.

   Решение

Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой косинусов.

Решение

Пусть точка M лежит на стороне BC равностороннего треугольника ABC со стороной a, причём BM : CM = 2 : 1. Тогда CM = a. По теореме косинусов из треугольника ACM находим, что

AM² = AC² + CM² - 2AC ^. CM cos 60^o = a² + a² - a² = a².

Ответ

.

Источники и прецеденты использования