Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.

   Решение

---

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

   Решение

---

Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.

   Решение

---

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

   Решение

---

Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.

   Решение

---

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через противоположные вершины A1 , C и середину ребра D1C1 . Найдите расстояние от вершины D1 до плоскости P , если ребро куба равно 6.

   Решение

---

Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?
(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

   Решение

---

Существует ли невырожденный треугольник АВС, для углов которого выполняется равенство: sinA + sinB = sinC?

   Решение

---

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P – середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что  2CD = 3RD.  Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если  AD = 2BC.

   Решение

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка P – середина боковой стороны AB. Точка R на стороне CD выбрана так, что  2CD = 3RD.  Прямые AR и PD пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника APQ, если  AD = 2BC.

Подсказка

Найдите отношение  PQ : QD.

Решение

  Пусть T – точка пересечения прямых AR и BC. Из подобия треугольников CRT и DRA находим, что   CT = ^DR/_RC·AD = ½ AD.
  Поэтому  BT = AD,  а ABTD – параллелограмм.

  Из подобия треугольников APQ и TDQ находим, что  PQ : QD = AP : TD = AP : AB = 1 : 2.
  Следовательно,  S_APQ = ¹/₃ S_APD = ¹/₆ S_ABD = ²/₃·¹/₆ S_ABCD = ¹⁰/₃.

Ответ

¹⁰/₃.

Источники и прецеденты использования