Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что  АВ = 16,  ВС = 12.  Найдите EF.

   Решение

---

Положительные числа x, y, z таковы, что  xyz = 1.  Докажите, что  

   Решение

---

При каких  n > 2  можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

   Решение

---

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём  AO = OD.  Докажите равенство треугольников ABC и DCB.

   Решение

---

На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных – по две точки, и на двух оставшихся – по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней.
Могли ли получиться шесть последовательных чисел?

   Решение

---

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

Подсказка

Проведите общую внутреннюю касательную.

Решение

Пусть AD и BC — общие касательные к окружностям радиусов r и R (r < R) с центрами в точках O₁ и O₂ соответственно; точки A и B лежат на первой окружности, C и D — на второй.

Если Q — точка пересечения прямых AD и BC, то QAB и QDC — равнобедренные треугольники. Следовательно, AB параллельно CD и ABCD — равнобедренная трапеция.

Пусть общая внутренняя касательная пересекает отрезки BC и AD в точках M и N соответственно. Если K — точка касания окружностей, то

Поэтому MN — средняя линия трапеции ABCD и

Следовательно, в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Пусть F — проекция точки O₁ на O₂D. Тогда

Пусть P — проекция точки A на DC. Тогда треугольник APD подобен треугольнику O₁FO₂ по двум углам. Поэтому

Следовательно, искомый радиус равен .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования