Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d² - R², где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.

   Решение

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

   Решение

Найти все решения системы уравнений:   (x + y)³ = z,  (y + z)³ = x,  (z + x)³ = y.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD, у которого диагональ AC является биссектрисой угла A, зная длины его сторон.

   Решение

В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.

   Решение

Когда сравнения  a ≡ b (mod m)  и   ac ≡ bc (mod m)  равносильны?

   Решение

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

   Решение

Темы:    [ Окружности (прочее) ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

Подсказка

При параллельном переносе сохраняются расстояния между точками.

Решение

Пусть O₁ - образ центра O окружности S радиуса R при некотором параллельном переносе. Если X - произвольная точка окружности S, а X₁ - ее образ при данном параллельном переносе, то O₁X₁ = OX = R.

Поэтому образы всех точек окружности S принадлежат окружности S₁ с центром O₁ и радиусом R.

Обратно, для любой точки Y₁ окружности S₁ на окружности S найдется точка Y, которая при рассматриваемом параллельном переносе перейдет в точку Y₁.

Источники и прецеденты использования