Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?

   Решение

Можно ли число ¹/₁₀ представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?

   Решение

В прямоугольной таблице m строк и n столбцов  (m < n).  В некоторых клетках таблицы стоят звёздочки, так что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что существует хотя бы одна такая звёздочка, что в одной строке с нею находится больше звёздочек, чем с нею в одном столбце.

   Решение

В центре куба сидит жук. Доказать, что он, переползая через ребра, не сможет обойти все кубики по одному разу.

   Решение

Доказать, что  776⁷⁷⁶ + 777⁷⁷⁷ + 778⁷⁷⁸  делится на 3.

   Решение

Когда встречаются два жителя Цветочного города, один отдает другому монету в 10 копеек, а тот ему - 2 монеты по 5 копеек. Могло ли случиться так, что за день каждый из 1990 жителей города отдал ровно 10 монет?

   Решение

Известно, что  p > 3  и p – простое число. Как вы думаете:
  а) будут ли чётными числа  p + 1  и  p – 1;
  б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?

   Решение

Найдите два таких простых числа, что и их сумма, и их разность – тоже простые числа.

   Решение

Углы треугольника ABC связаны соотношением  3α + 2β = 180°. Докажите, что  a² + bc = c².

   Решение

Тема:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Углы треугольника ABC связаны соотношением  3α + 2β = 180°. Докажите, что  a² + bc = c².

Решение

Так как  α + β = 90° – ^α/₂,  то  γ = 180° – α – β = 90° + ^α/₂.  Поэтому на стороне AB можно выбрать точку D так, что ∠ACD = 90° – ^α/₂,  то есть  AC = AD.  Тогда треугольники ABC и CBD подобны, а значит,  BC : BD = AB : CB,  то есть  a² = c(c – b).

Источники и прецеденты использования