Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?

Вниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  xy = x + y.

ВверхВниз   Решение


Две стороны треугольника равны 25 и 30, а высота, проведённая к третьей, равна 24. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


AB и CD – параллельные прямые, AC – секущая (точки B и D находятся по одну сторону от прямой AC), E и F – точки пересечения прямых AB и CD с биссектрисами углов C и A. Известно, что  AF = 96,  CE = 110.  Найдите AC.

ВверхВниз   Решение


Можно ли раздать шести детям 40 конфет так, чтобы у всех было разное количество конфет и у каждых двух вместе было менее половины всех конфет?

ВверхВниз   Решение


Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше 4.

ВверхВниз   Решение


По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче – величина случайная. Найдите её математическое ожидание.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике $ABC$ угол $B$ — прямой или тупой. На стороне $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $BM = MN = NC$. Докажите, что $\angle BAM > \angle MAN > \angle NAC$.

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL правильный.

Вверх   Решение

Задача 56501
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL.
Докажите, что треугольник AKL правильный.


Решение

Пусть  ∠A = α.  Легко проверить, что оба угла KCL и ADL равны  240° – α  (или   120° + α).  А так как  KC = BC = AD  и  CL = DL,  то треугольники KCL и ADL равны, а значит,  KL = AL.  Аналогично,  KL = AK.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 4
Название Вспомогательные равные треугольники
Тема Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер 01.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .