Незнайка выписал семь двузначных чисел в порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось вот что: ХА, АЙ, АХ, ОЙ, ЭМ, ЭЙ, МУ. Докажите, что Незнайка что-то перепутал.

   Решение

Докажите, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых есть наименьшее из расстояний между точками этих прямых.

   Решение

Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка K. Точка M – середина BC, точка P – середина KM. Докажите, что если ∠APB = ∠CPD = 90°, то AK = DK.

   Решение

Темы:    [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

Решение

Согласно задаче 56699 б) длины касательных, проведённых из точки C к вписанным окружностям, равны. Следовательно, точка C лежит на радикальной оси этих окружностей, то есть
на прямой MN.

Замечания

Если окружности не пересекаются, а касаются, утверждение остается верным; в этом случае прямую MN нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.

Источники и прецеденты использования