Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.

   Решение

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

   Решение

Темы:    [ Радикальная ось ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

Решение

Пусть R₁ и R₂ — радиусы окружностей. Рассмотрим систему координат, в которой центры окружностей имеют координаты (- a, 0) и (a, 0). Согласно задаче 3.52 степени точки с координатами (x, y) относительно данных окружностей равны  (x + a)² + y² - R₁² и  (x - a)² + y² - R₂² соответственно. Приравнивая эти выражения, получаем  x = (R₁² - R₂²)/4a. Это уравнение задает прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры окружностей.

Источники и прецеденты использования