Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен одной из высот.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = .

   Решение

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

   Решение

В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.

   Решение

На плоскости начерчены треугольник $ABC$, описанная около него окружность и центр $I$ его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой, постройте центр описанной окружности.

   Решение

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

   Решение

В треугольнике ABC:  ∠C = 60°,  ∠A = 45°.  Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC.
Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если  CC₁B₁ = 30^o, то либо  A = 60^o, либо  B = 120^o.

   Решение

Тема:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB₁ и CC₁. Докажите, что если  CC₁B₁ = 30^o, то либо  A = 60^o, либо  B = 120^o.

Решение

Так как  BB₁C = B₁BA + B₁AB > B₁BA = B₁BC, то BC > B₁C. Поэтому точка K, симметричная B₁ относительно биссектрисы CC₁, лежит на стороне BC, а не на ее продолжении. Так как  CC₁B = 30^o, то  B₁C₁K = 60^o, а значит, треугольник B₁C₁K правильный. В треугольниках BC₁B₁ и BKB₁ сторона BB₁ общая, стороны C₁B₁ и KB₁ равны, равны также и углы C₁BB₁ и KBB₁ но это углы не между равными сторонами. Поэтому возможны два случая:
1.  BC₁B₁ = BKB₁. Тогда  BB₁C₁ = BB₁K = 60^o/2 = 30^o. Следовательно, если O — точка пересечения биссектрис BB₁ и CC₁, то  BOC = B₁OC₁ = 180^o - OC₁B₁ - OB₁C₁ = 120^o. С другой стороны,  BOC = 90^o + A/2 (см. задачу 5.3), т. е.  A = 60^o.
2.  BC₁B₁ + BKB₁ = 180^o. Тогда четырехугольник BC₁B₁K вписанный, а так как треугольник B₁C₁K правильный, то  B = 180^o - C₁B₁K = 120^o.

Источники и прецеденты использования