Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

   Решение

---

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

   Решение

---

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

где и  — некоторые числа.

   Решение

---

Перед Алёшей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алёшин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что
  a) синий кубик только один;
  б) синих кубиков ровно n.
(Алёша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)

   Решение

---

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

   Решение

---

Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

   Решение

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

   Решение

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.

Решение

Можно считать, что точки A₂, B₂ и C₂ лежат на сторонах треугольника ABC. Согласно задаче 5.78

Так как прямые AA₂, BB₂ и CC₂ симметричны прямым AA₁, BB₁ и CC₁ относительно биссектрис, то  ACC₂ = C₁CB,C₂CB = ACC₁ и т. д., поэтому

Следовательно, ^{. .} =1, т. е. прямые  AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.
Замечание. Утверждение остается верным и в том случае, когда точки A₁, B₁ и C₁ взяты на продолжениях сторон, если только точка P не лежит на описанной окружности S треугольника ABC; если же P лежит на окружности S, то прямые AA₂, BB₂ и CC₂ параллельны (см. задачу 2.90).

Источники и прецеденты использования