Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки O увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

   Решение

Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

   Решение

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.

   Решение

В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.

   Решение

Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

   Решение

Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий – ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день – решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети "приятных" дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько "скучных", когда совсем не будет никаких дел?

   Решение

Докажите, что при  n > 2  числа  2ⁿ – 1  и  2ⁿ + 1  не могут быть простыми одновременно.

   Решение

Пусть  {p_n} – последовательность простых чисел  (p₁ = 2,  p₂ = 3,  p₃ = 5, ...).
  а) Докажите, что  p_n > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  p_n > 3n?

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что  MBB₁ = NBB₁.

   Решение

На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A₁, A₂, ..., A_m и B₁, B₂, ..., B_n соответственно и проведены все отрезки вида A_iB_j
(1 ≤ i ≤ m,  1 ≤ j ≤ n).  Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

   Решение

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что числа Ферма  f_n = 2²ⁿ + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

   Решение

а) Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Кроме ходов, допустимых в пункте а), разрешается перекладывать один камень из первой кучки во вторую. В остальном правила те же.

   Решение

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

   Решение

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Подобные фигуры ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Без ограничения общности можно считать, что  = AOB < 90^o. Опустим перпендикуляры  AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на диагонали четырехугольника ABCD. Так как  OA₁ = OA cos, OB₁ = OB cos, OC₁ = OC cos, OD₁ = OD cos, то при симметрии относительно биссектрисы угла AOB четырехугольник ABCD переходит в четырехугольник, гомотетичный четырехугольнику  A₁B₁C₁D₁ (с коэффициентом  1/cos).

Замечания

Источники и прецеденты использования