Информация о задаче

Выбрано 10 задач

Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

Решение

Автор: Прасолов В.В.

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:

a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃ = c₁ + c₂ + c₃ = a₁ + b₁ + c₁ = a₂ + b₂ + c₂ = a₃ + b₃ + c₃.

Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов: a₁b₁c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₃c₃ = a₁a₂a₃ + b₁b₂b₃ + c₁c₂c₃.

Решение

Докажите, что

$\displaystyle {\frac{1}{(p-a)(p-b)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-b)(p-c)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-c)(p-a)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$ .

Решение

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

Решение

Пусть a $\leq$ b $\leq$ c. Докажите, что тогда h_a + h_b + h_c $\leq$ 3b(a²+ac+c²)/(4pR).

Решение

Авторы: Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф.

Правильный шестиугольник разрезан на N равновеликих параллелограммов. Доказать, что N делится на 3.

Решение

Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n ≤ 4.

Решение

Докажите, что h_a $\leq$ (a/2)ctg( $\alpha$ /2).

Решение

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

Решение

Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования